Corps quasi-fini

En mathématiques, un corps quasi-fini est une généralisation d'un corps fini. La théorie des corps de classes locaux traite généralement de corps à valuation complets dont le corps résiduel est fini (c'est-à-dire un corps local non-archimédien), mais la théorie s'applique aussi bien lorsque le corps résiduel est seulement supposé quasi-finis.

Définition formelle

Un corps quasi-fini est un corps parfait K muni d'un isomorphisme de groupes topologiques.

${\displaystyle \phi :{\hat {\mathbf {Z} }}\to \operatorname {Gal} (K_{s}/K),}$

où K_s est une clôture algébrique de K (nécessairement séparable parce que K est parfait). L'extension de corps K_s/K est infinie, et le groupe de Galois se voit par conséquent attribué la topologie de Krull. Le groupe ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$ est le groupe profini des nombres entiers à l'égard de ses sous-groupes d'index fini.

Cette définition équivaut à dire que K a une unique (nécessairement cyclique) extension K_n de degré n pour chaque entier n ≥ 1, et que l'union de ces extensions est égale à K_s. En outre, dans le cadre de la structure de corps quasi-fini, il y a un générateur de F_n pour chaque Gal(K_n/K), et les générateurs doivent être cohérent, dans le sens où si n divise m, la restriction de F_m à K_n est égale à F_n.

Exemples

L'exemple le plus simple, est le corps fini K = GF(q). Il a une unique extension cyclique de degré n, à savoir K_n = GF(qⁿ). L'union de K_n est la clôture algébrique de K_s. Nous prenons F_n comme étant l'élément de Frobenius; c'est-à-dire F_n(x) = x^q.

Un autre exemple est K = C((T)), l'anneau des séries formelles de Laurent en T sur le corps C des nombres complexes. Celles-ci sont simplement des séries formelles dans lesquelles nous permettons également un nombre fini de termes de degrés négatifs. Alors K a une unique extension cyclique

${\displaystyle K_{n}=\mathbf {C} ((T^{1/n}))}$

de degré n pour chaque n ≥ 1, dont l'union est une clôture algébrique de K appelée le champ des séries de Puiseux, et dont un générateur de Gal(K_n/K) est donnée par

${\displaystyle F_{n}(T^{1/n})=e^{2\pi i/n}T^{1/n}.}$

Cette construction fonctionne si C est remplacé par un corps fini algébriquement clos C de caractéristique zéro.

Références

• Emil Artin et John Tate, Class field theory, American Mathematical Society, 2009 (1^re éd. 1967), 192 p. (ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155, zbMATH 1179.11040)
• (en) Jean-Pierre Serre (trad. Marvin Jay Greenberg), Local Fields, vol. 67, New York/Heildeberg/Berlin, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1979, 241 p. (ISBN 0-387-90424-7, MR 554237, zbMATH 0423.12016)

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